【题目】如图,已知矩形, , ,点为矩形内一点,且,设.
(1)当时,求的值;
(2)求的最大值.
【答案】(1)0;(2)2.
【解析】
(1)以A为坐标原点建立直角坐标系,分别求得A,B,C,D,P的坐标,运用向量数量积的坐标表示,计算可得结果;
(2)设P(cosα,sinα),分别求得向量=(2﹣cosα,﹣sinα),=(﹣cosα,﹣sinα),=(cosα,sinα),运用向量数量积的坐标表示,结合辅助角公式和正弦函数的图象和性质,即可得到所求最大值.
(1)如图,以A为坐标原点建立直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(2,),D(0,),
P(cos,sin),即(,),
=(,)(﹣,)=×(﹣)+()2=0;
(2)设P(cosα,sinα),
则=(2﹣cosα,﹣sinα),=(﹣cosα,﹣sinα),=(cosα,sinα),
可得+=(2﹣2cosα,2﹣2sinα),
则(+)=2cosα﹣2cos2α+2sinα﹣2sin2α
=4(sinα+cosα)﹣2=4sin(α+)﹣2,
当α+=,即α=时,
()取得最大值4﹣2=2.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1,A1A⊥底面ABC,且△ABC为正三角形,A1A=AB=6,D为AC中点.
(1)求三棱锥C1﹣BCD的体积;
(2)求证:平面BC1D⊥平面ACC1A1;
(3)求证:直线AB1∥平面BC1D.
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【题目】
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合与的关系,请建立关于的回归方程(系数精确到0.01);
(2)预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考公式:设具有线性相关关系的两个变量的一组观察值为,
则回归直线方程的系数为:
, .
参考数据: , .
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【题目】某设备的使用年数x与所支出的维修总费用y的统计数据如下表:
使用年数x(单位:年) | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
维修费用y(单位:万元) | 1.5 | 4.5 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
根据上标可得回归直线方程为 =1.3x+ ,若该设备维修总费用超过12万元,据此模型预测该设备最多可使用年.
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【题目】下列命题中,正确的命题有__________.
①回归直线恒过样本点的中心,且至少过一个样本点;
②将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后,方差不变;
③用相关指数来刻面回归效果;表示预报变量对解释变量变化的贡献率,越接近于1,说明模型的拟合效果越好;
④若分类变量和的随机变量的观测值越大,则“与相关”的可信程度越小;
⑤.对于自变量和因变量,当取值一定时, 的取值具有一定的随机性, , 间的这种非确定关系叫做函数关系;
⑥.残差图中残差点比较均匀的地落在水平的带状区域中,说明选用的模型比较合适;
⑦.两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的方程为y=3+ .
(1)写出曲线C的一个参数方程;
(2)在曲线C上取一点P,过点P作x轴,y轴的垂线,垂足分别为A,B,求矩形OAPB的周长的取值范围.
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【题目】已知抛物线 : ( )的焦点为 ,点 在抛物线 上,且 ,直线 与抛物线 交于 , 两点, 为坐标原点.
(1)求抛物线 的方程;
(2)求 的面积.
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