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已知函数f(x)是y=-1(x∈R)的反函数,函数g(x)的图像

与函数y=-的图像关于y轴对称,设F(x)=f(x)+g(x).

(1)求函数F(x)的解析式及定义域;

(2)试问在函数F(x)的图像上是否存在两个不同的点AB,使直线AB恰好与y轴垂直?若存在,求出AB的坐标;若不存在,说明理由 

(1) F(x)=lg+,定义域为(-1,1), (2) 不存在符合条件的点AB


解析:

  (1)y=-1的反函数为f(x)=lg(-1<x<1 

由已知得g(x)=,∴F(x)=lg+,定义域为(-1,1).

(2)用定义可证明函数u==-1+是(-1,1)上的减函数,且y=lgu是增函数.

f(x)是(-1,1)上的减函数,故不存在符合条件的点AB.

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