Question

已知函数f_n（x）=x³-nx-1（x＞0，n∈N^*）．
（Ⅰ）求函数f₃（x）的极值；
（Ⅱ）判断函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上零点的个数，并给予证明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函数f₃（x）的导函数，在定义域内根据导函数的符号判断原函数在不同区间内的单调性，由单调性分析极值；
（Ⅱ）由fn(

n

)•fn(

n+1

)＜0可知函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上有零点，然后利用导函数的符号得到函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上单调递增，从而得到答案．

解答：解：（Ⅰ）∵f3(x)=x3-3x-1，∴f3′(x)=3x2-3，
∵当x＞1时，f3′(x)＞0；当0＜x＜1时，f3′(x)＜0．
∴当x=1时，f₃（x）取得极小值-3，无极大值；
（Ⅱ）函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上有且只有一个零点．
证明：
∵fn(

n

)=(

n

)3-n

n

-1=-1＜0，
fn(

n+1

)=(

n+1

)3-n

n+1

-1=

n+1

-1＞0，
fn(

n

)•fn(

n+1

)＜0，∴函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上必定存在零点．
∵fn′(x)=3x2-n，∴当x∈(

n

，

n+1

)时，fn′(x)＞3(

n

)2-n=2n＞0，
∴f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上单调递增，
∴函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上的零点最多一个．
综上知：函数f_n（x）在区间(

n

，

n+1

)上存在唯一零点．

点评：本题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查了零点存在性定理，单调函数在区间[a，b]上满足f（a）f（b）＜0，则函数在区间（a，b）上有唯一零点，是中档题．