Question

7．已知数列{a_n}的首项a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）猜想{a_n}的通项公式，并用你学过的数学方法证明．

Answer 1

分析 （1）a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）．分别令n=1，2，3即可得出；
（2）猜想a_n=$\frac{1}{2n-1}$．以下给出证明：${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，再利用等差数列的通项公式即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=1，${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$（n∈N^*）．
∴a₂=$\frac{{a}_{1}}{1+2{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，同理可得a₃=$\frac{1}{5}$，a₄=$\frac{1}{7}$．
（2）猜想a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
以下给出证明：${a_{n+1}}=\frac{a_n}{{1+2{a_n}}}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+2，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项为1，公差为2．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1．
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．