Question

如图,在三棱锥P -ABC中,点P在平面ABC上的射影D是AC的中点.BC ="2AC=8,AB" =

(I )证明：平面PBC丄平面PAC
(II)若PD =,求二面角A-PB-C的平面角的余弦值.

Answer 1

(I) 通过证明AC⊥BC，进而证明BC⊥平面PAC，从而得证；
(II)

试题分析：
(Ⅰ)证明：点在平面上的射影是的中点，
PD⊥平面ABC,PD平面PAC
平面PAC⊥平面ABC                                                ……2分
BC＝2AC＝8，AB＝4
，故AC⊥BC                                     ……4分
又平面PAC平面ABC=AC，BC平面ABC
BC⊥平面PAC，又BC平面PBC
平面PBC⊥平面PAC                                              ……6分
(Ⅱ)如图所示建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0），A（4，0，0），B（0，8，0），P（2，0，），
                                      ……8分
设平面PAB的法向量为

令
设平面PBC的法向量为
,

令＝0，=1，=－，                            ……10分

二面角的平面角的余弦值为                         ……12分
点评：立体几何问题，主要是考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解决此类问题时，要紧扣相应的判定定理和性质定理，要将定理中要求的条件一一列举出来，缺一不可，用空间向量解决立体几何问题时，要仔细运算，适当转化.