Question

7．已知：已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$+2ax，
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率为-6，求实数a；
（Ⅱ）若a=1，求f（x）的极值；
（Ⅲ）当0＜a＜2时，f（x）在[1，4]上的最小值为-$\frac{16}{3}$，求f（x）在该区间上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的导数值等于切线的斜率为-6，即可求实数a；
（Ⅱ）通过a=1，利用导函数为0，判断导数符号，即可求f（x）的极值；
（Ⅲ）当0＜a＜2时，利用导函数的单调性，通过f（x）在[1，4]上的最小值为-$\frac{16}{3}$，即可求出a，然后求f（x）在该区间上的最大值．

解答 （本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为f′（x）=-x²+x+2a，
曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线的斜率k=f′（2）=2a-2，-------------（3分）
依题意：2a-2=-6，a=-2．-------------（4分）
（Ⅱ）当a=1时，$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}+2x$，f′（x）=-x²+x+2=-（x+1）（x-2）----（5分）

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+	0	-
f（x）	单调减	$-\frac{7}{6}$	单调增	$\frac{10}{3}$	单调减

所以，f（x）的极大值为$\frac{10}{3}$，f（x）的极小值为$-\frac{7}{6}$．---------------------------------------（10分）
（Ⅲ）令f′（x）=0，得${x_1}=\frac{{1-\sqrt{1+8a}}}{2}$，${x_2}=\frac{{1+\sqrt{1+8a}}}{2}$，
f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上单调递减，在（x₁，x₂）上单调递增，
当0＜a＜2时，有x₁＜1＜x₂＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值为f（x₂），f（4）＜f（1），
所以f（x）在[1，4]上的最小值为$f（4）=8a-\frac{40}{3}=-\frac{16}{3}$，解得：a=1，x₂=2．
故f（x）在[1，4]上的最大值为$f（2）=\frac{10}{3}$．-------------------（14分）

点评 本题考查导数的综合应用，切线方程以及极值的求法，函数的单调性与函数的最值的关系，考查转化思想以及计算能力．