Question

如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图(其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示)．

(1)求四棱锥P－ABCD的体积；

(2)证明：BD∥平面PEC；

(3)若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由几何体的三视图可知，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥EB，且PA＝4，BE＝2，AB＝AD＝CD＝CB＝4， 　　∴VP－ABCD＝PA×SABCD＝×4×4×4＝． 　　(2)证明：连结AC交BD于O点， 　　取PC中点F，连结OF， 　　∵EB∥PA，且EB＝PA， 　　又OF∥PA，且OF＝PA， 　　∴EB∥OF，且EB＝OF，∴四边形EBOF为平行四边形，∴EF∥BD． 　　又EF?平面PEC，BD?平面PEC，所以BD∥平面PEC． 　　(3)连结BP，∵＝＝，∠EBA＝∠BAP＝90°， 　　∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA＝∠BEA，∴∠PBA＋∠BAE＝∠BEA＋∠BAE＝90°，∴PB⊥AE．