【题目】已知函数的定义域为
,值域为
,即
,若
,则称
在
上封闭.
(1)分别判断函数,
在
上是否封闭,说明理由;
(2)函数的定义域为
,且存在反函数
,若函数
在
上封闭,且函数
在
上也封闭,求实数
的取值范围;
(3)已知函数的定义域为
,对任意
,若
,有
恒成立,则称
在
上是单射,已知函数
在
上封闭且单射,并且满足
,其中
(
),
,证明:存在
的真子集,
,使得
在所有
(
)上封闭.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据在
上封闭的定义,分别求出函数
,
在
上的值域,即可判断是否封闭;(2)函数
在D上封闭,则
.函数
在
上封闭,则
,得到:
.从而问题转化为:
在
两不等实根.(3)分两种情况:
和
,第一种情况显然不成立,第二种情况,因为
是单射,因此取一个
,则
是唯一的使得
的根,换句话说
考虑到
,即
,因为
是单射,则
这样就有了
.接着令
,并重复上述论证证明
..
试题解析:
(1)因为函数的定义域为
,值域为
,(取一个具体例子也可),
所以在
上不封闭.
在
上封闭
(2)函数在D上封闭,则
.函数
在
上封闭,则
,
得到: .
在
单调递增.
则
在
两不等实根.
,
故,解得
.
另解: 在
两不等实根.令
在
有两个不等根,画图,由数形结合可知,
解得.
(3)如果,则
,与题干
矛盾.
因此,取
,则
.
接下来证明,因为
是单射,因此取一个
,
则是唯一的使得
的根,换句话说
考虑到,即
,
因为是单射,则
这样就有了.
接着令,并重复上述论证证明
..
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着我国经济的快速发展,民用汽车的保有量也迅速增长.机动车保有量的发展影响到环境质量、交通安全、道路建设等诸多方面.在我国,尤其是大中型城市,机动车已成为城市空气污染的重要来源.因此,合理预测机动车保有量是未来进行机动车污染防治规划、道路发展规划等的重要前提.从2012年到2016年,根据“云南省某市国民经济和社会发展统计公报”中公布的数据,该市机动车保有量数据如表所示.
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
年份代码 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
机动车保有量 | 169 | 181 | 196 | 215 | 230 |
(1)在图所给的坐标系中作出数据对应的散点图;
(2)建立机动车保有量关于年份代码
的回归方程;
(3)按照当前的变化趋势,预测2017年该市机动车保有量.
附注:回归直线方程中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列,
,
,
满足
,且当
时,
,令
.
(Ⅰ)写出的所有可能的值.
(Ⅱ)求的最大值.
(Ⅲ)是否存在数列,使得
?若存在,求出数列
;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知定圆,定直线
,过
的一条动直线
与直线相交于
,与圆
相交于
,
两点,
是
中点.
(Ⅰ)当与
垂直时,求证:
过圆心
;
(Ⅱ)当时,求直线
的方程;
(Ⅲ)设,试问
是否为定值,若为定值,请求出
的值;若不为定值,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,三棱柱中,M,N分别为
的中点.
(1)证明:直线MN//平面CAB1;
(2)若四边形ABB1A1是菱形,且,
,求平面
和平面
所成的角(锐角)的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】【选修4-4:坐标系与参数方程】
极坐标系的极点为直角坐标系的原点,极轴为
轴的正半轴,两神坐标系中的长度单位相同.已知曲线
的极坐标方程为
,
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)在曲线上求一点,使它到直线
:
(
为参数)的距离最短,写出
点的直角坐标.
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