Question

设正数数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1

2

(an+

1

an

)，（n∈N^*）．
（Ⅰ）试求a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）猜想a_n的通项公式，并用数学归纳法证明．

Answer 1

分析：（I）由Sn=

1

2

(an+

1

an

)，n分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论；
（II）猜想an=

n

-

n-1

(n∈N*)，用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设．

解答：解：（I）∵Sn=

1

2

(an+

1

an

)
∴n=1时，S1=

1

2

(a1+

1

a1

)，∴a₁=±1，∵a₁＞0，∴a₁=1
n=2时，S2=

1

2

(a2+

1

a2

)，∴1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，∵a₂＞0，∴a2=

2

-1
n=3时，S3=

1

2

(a3+

1

a3

)，∴

2

+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)，∵a₃＞0，∴a3=

3

-

2

，
（II）猜想an=

n

-

n-1

(n∈N*)
下用数学归纳法证明：
①n=1时，a₁=1，满足an=

n

-

n-1

；
②假设当n=k（k≥1）时，结论成立，即ak=

k

-

k-1

，则当n=k+1时，有ak+1=Sk+1-Sk=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)-

1

2

(ak+

1

ak

)
∴ak+1-

1

ak+1

=-ak-

1

ak

=-

k

+

k-1

-

k

-

k-1

=-2

k

解方程得ak+1=

k+1

-

k

，即当n=k+1时，结论也成立
由①②可知，猜想成立

点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查数学归纳法的运用，掌握数学归纳法的证题步骤是关键．