Question

设集合I={1，2，3，4，5}．选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A．50种
B．49种
C．48种
D．47种

Answer 1

【答案】分析：解法一，根据题意，按A、B的元素数目不同，分9种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案；
解法二，根据题意，B中最小的数大于A中最大的数，则集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，按A、B中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．
解答：解：
解法一，若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有C₅²=10种；
若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C₅³=10种；
若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C₅⁴=5种；
若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有C₅⁵=1种；
若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C₅³=10种；
若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有C₅⁴=5种；
若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有C₅⁵=1种；
若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C₅⁴=5种；
若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有C₅⁵=1种；
若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有C₅⁵=1种；
总计有49种，选B．
解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，
从5个元素中选出2个元素，有C₅²=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；
从5个元素中选出3个元素，有C₅³=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；
从5个元素中选出4个元素，有C₅⁴=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；
从5个元素中选出5个元素，有C₅⁵=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法．选B．
点评：本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用．