Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，AB=AC=1，M、N分别是棱A₁B、B₁C₁上的点，且BM=2A₁M，C₁N=2B₁N，MN⊥A₁B．
（1）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的高a及MN的长；
（2）动点P在B₁C₁上移动，问P在何位置时，△PA₁B的面积才能取得最小值．

Answer 1

解：（1）以A为原点，射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，={1，0，-a}，={，，}，．由⊥?•=0得，，．
（2）设P（t，1-t，1），于是，={t，1-t，0}，={1，0，-1}，设与所成的角为θ，，，
则当时，．即当与N重合时，△PA₁B的面积才能取得最小值．
分析：（1）以A为原点，射线AB、AC、AA₁分别为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，用坐标表示向量，利用数量积为0，可求高a及MN的长；
（2）假设动点P的坐标，进而表示出，△PA₁B的面积，再求最小值．
点评：本题以直三棱柱为载体，考查利用空间向量解决立体几何问题，关键是空间直角坐标系的建立．