Question

过抛物线x²=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点．
（I）证明：△ABO是钝角三角形；
（II）求△ABO面积的最小值；
（III）过点A作抛物线的切线交y轴于点C，求线段AC中点M的轨迹方程．

Answer 1

（I）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB方程y=kx+

p

2

由

y=kx+ p 2 x2=2py

，得x²-2pkx-p²=0
∴x1x2=-p2，y1y2=

p2

4

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=-p2+

p2

4

=-

3

4

p2＜0
∴cos∠AOB=

OA • OB

| OA || OB

＜0
∴∠AOB为钝角，△ABO为钝角三角形
（II）由（I）x₁x₂=-p2，x₁+x₂=2pk
∴S△ABO=

1

2

|OF||x1-x2|=

p

4

(x1+x2)2-4x1x2

=

p

4

4p2k2+4p2

=

p2

2

(1+k2)

≥

p2

2

当k=0时取等号
∴△ABO面积的最小值是

p2

2

（III）设过点A的切线方程为y=k（x-x₁）+y₁由

y=k(x-x1)+y1 x2=2py

得
x²-2pkx+2pkx₁-2py₁=0令△=4p²k²-4（2pkx₁-2py₁）=0解得k=

1

p

x1
∴切线方程为y=

1

p

x1(x-x1)+y1令x=0，得y=-

x12

p

+y1=-2y1+y1=-y1
∴线段AC中点M为（x，0）
∴点M的轨迹方程为y=0（x≠0）