Question

【题目】如图，在△ABC中，M是边BC的中点，tan∠BAM= ，cos∠AMC=﹣ （Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若角∠BAC= ，BC边上的中线AM的长为 ，求△ABC的面积．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可知∠AMB+∠AMC=π， 又cos∠AMC=﹣ ，
∴cos∠AMB= ，sin∠AMB= ，tan∠AMB= ，
∴tanB=﹣tan（∠BAM+∠BMA）=﹣
=﹣ =﹣ ，
又B∈（0，π），
∴B= ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠B= ，且∠BAC= ，
∴∠C= ，即∠BAC=∠C，
∴AB=BC，
设BM=x，则AB=2x，
在△AMB中，由余弦定理得AM2=AB2+BM2﹣2ABBMcosB，即7=4x2+x2+2x2 ，
解得：x=1（负值舍去），
∴AB=BC=2，
则S△ABC= 4sin =
【解析】（Ⅰ）由邻补角定义及诱导公式得到cos∠AMC=﹣cos∠AMB，求出cos∠AMB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出tan∠AMB的值，再利用诱导公式求出tanB的值，即可确定出B的大小；（Ⅱ）由三角形内角和定理及等角对等边得到AB=BC，设BM=x，则AB=BC=2x，利用余弦定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出AB与BC的值，再利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．
【考点精析】关于本题考查的两角和与差的正切公式和余弦定理的定义，需要了解两角和与差的正切公式：；余弦定理:;;才能得出正确答案．