Question

定义在（-1，1）上的函数f（x）满足：
①对任意x₁、x₂∈（-1，1）都有f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)；
②当x＜0时，f（x）＞0．
（1）判断函数f（x）的奇偶性与单调性，并给出证明；
（2）若f(

1

5

)=

1

2

，求f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)的值．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=0，可得f（0）=0，令x₂=-x₁，可得f（x₁）+f（-x₁）=0，进而根据函数奇偶性的定义，可判断函数的奇偶性，x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，结合当x＜0时，f（x）＞0．及函数单调性的定义，可判断函数的单调性；
（2）根据f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)，结合（1）中函数的奇偶性，可得f（x₁）-f（x₂）=f(

x1-x2

1-x1x2

)，结合f(

1

5

)=

1

2

，可求f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)的值．

解答：解：（1）∵f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)，
令x₁=x₂=0
则f（0）+f（0）=f（0）
解得f（0）=0
令x₂=-x₁，
则f（x₁）+f（x₂）=f（x₁）+f（-x₁）=f（0）=0
∴函数f（x）为奇函数
任取x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
则x₁-x₂＜0，1-x₁•x₂＞0，
∴

x1-x2

1-x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f(

x1-x2

1-x1x2

)
∵当x＜0时，f（x）＞0
∴f(

x1-x2

1-x1x2

)＞0
即f（x₁）＞f（x₂）
即函数f（x）在（-1，1）上为减函数
（2））∵f(x1)+f(x2)=f(

x1+x2

1+x1x2

)，f（x₁）-f（x₂）=f(

x1-x2

1-x1x2

)
∴f(

1

2

)-f(

1

11

)-f(

1

19

)
=f(

1 2 - 1 11

1- 1 2 • 1 11

)-f(

1

19

)
=f(

3

7

)-f(

1

19

)
=f(

3 7 - 1 19

1- 3 7 • 1 19

)
=f(

5

13

)
=f(

1 5 + 1 5

1+ 1 5 • 1 5

)
=2•f(

1

5

)=

1

2

•2=1

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数奇偶性与函数单调性的综合，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．