Question

与直线y=kx切于点(

6

5

，

8

5

)，与x轴相切，且圆心在第一象限内的圆的标准方程为______．

Answer 1

设圆心A坐标为（a，b）（a＞0，b＞0），
由圆与x轴相切得到圆的半径r=|b|=b，
又圆与直线y=kx切于点B(

6

5

，

8

5

)，得到|AB|=r，
即

(a- 6 5 )2+(b- 8 5 )2

=b，即5a²-12a-16b+20=0①，
又(

6

5

，

8

5

)在直线y=kx上，代入直线可得k=

4

3

，
所以直线方程为y=

4

3

x，即4x-3y=0，
所以圆心到直线的距离d=

|4a-3b|

5

=b，
即（2a+b）（a-2b）=0，
∵2a+b≠0，∴a-2b=0，即a=2b②，
把②代入①得：b²-2b+1=0，即（b-1）²=0，解得b=1，
把b=1代入②得：a=2，
所以圆心坐标为（2，1），半径r=1，
则圆的标准方程为：（x-2）²+（y-1）²=1．
故答案为：（x-2）²+（y-1）²=1