Question

已知函数f（x）=log₂（x+m），且f（0），f（2），f（6）成等差数列．
（1）求f（30）的值；
（2）若a，b，c是两两不相等的正数，且a，b，c成等比数列，试判断f（a）+f（c）与2f（b）的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由等差数列的定义可建立关于m的方程，可解m的值，代入可得答案；
（2）由对数的运算性质可得f（a）+f（c）与2f（b）的值，下面用作差法及基本不等式比较真数的大小即可．

解答：解：（1）由f（0），f（2），f（6）成差数列，
得2log₂（2+m）=log₂m+log₂（6+m），即（m+2）²=m（m+6）（m＞0）
解得m=2…（4分）
∴f（30）=log₂（30+2）=5…（6分）
（2）由（1）可知：2f(b)=2log2(b+2)=log2(b+2)2，f(a)+f(c)=log2(a+2)(c+2)，
∵b²=ac，∴（a+2）（c+2）-（b+2）²=ac+2（a+c）+4-b²-4b-4=2（a+c）-4b…（9分）
∴

a+c＞2 ac =2b(a≠c)

，
∴2（a+c）-4b＞0
∴log2(a+2)(c+2)＞log2(b+2)2，
即f（a）+f（c）＞2f（b）…（14分）

点评：本题为等差数列和等比数列的综合应用，涉及作差法比较大小和基本不等式的应用，属中档题．