Question

【题目】已知等比数列{an}满足a1=2，a2=4（a3﹣a4），数列{bn}满足bn=3﹣2log2an ．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）令cn= ，求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）若λ＞0，求对所有的正整数n都有2λ2﹣kλ+2＞a2nbn成立的k的范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：设等比数列{an}的公比为q，

∵a1=2，a2=4（a3﹣a4），

∴ ，

故数列{an}是以2为首项， 为公比的等比数列，

∵ ，

∴数列{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．

∴ ；

（2）解：∵cn= =（2n﹣1）2n﹣2，

∴Tn= ×1+1×3+2×5+…+2n﹣2×（2n﹣1），

，

两式相减得：

= ，

∴ ；

（3）解：由（1）知 ，

∴数列{a2nbn}为单调递减数列；

∴当n≥1时， ，即a2nbn最大值为1，

由2λ2﹣kλ+2＞1可得 ，

而当λ＞0时， ，当且仅当 时取等号，

∴ ．

【解析】（1）通过设等比数列{an}的公比为q，通过a1=2、a2=4（a3﹣a4）计算可知数列{an}是以2为首项、 为公比的等比数列，进而数列{bn}是首项为1、公差为2的等差数列，计算即得结论；（2）通过（1）可知cn=（2n﹣1）2n﹣2 ， 利用错位相减法计算即得结论；（3）通过（1）知数列{a2nbn}为单调递减数列，进而只需解不等式2λ2﹣kλ+2＞a2b1 ， 利用基本不等式计算即得结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等比数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．