Question

已知函数，其中0＜a＜b．
（1）当D=（0，+∞）时，设，f（x）=g（t），求y=g（t）的解析式及定义域；
（2）当D=（0，+∞），a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（3）设k＞0，当a=k²，b=（k+1）²时，1≤f（x）≤9对任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意可得f（x）=+1-，而t=+，于是可得y=g（t）的解析式及定义域；
（2）a=1，b=2时，f（x）=-3，利用x+-1≥2-1即可求得f（x）的最小值；
（3）由题意可求得x∈[a，b]=[k²，（k+1）²]时，f（x）_min=，由1≤≤9，k＞0，即可求得k的取值范围．
解答：解：（1）∵t=+，0＜a＜b，x＞0，
∴t≥2=，
又f（x）=+=+1-，f（x）=g（t），
∴g（t）=（t-1）²+1-，t∈[，+∞）；
（2）∵x＞0，a=1，b=2，
∴f（x）=-3，又x+-1≥2-1（当且仅当x=时取“=”）
∴f（x）≥-3=6-4，
∴f（x）_min=6-4．
（3）由题意可得，x∈[a，b]=[k²，（k+1）²]，1≤f（x）≤9恒成立，
∴只需求得x∈[k²，（k+1）²]时f（x）的最小值即可．
∵此时，f（x）=+1-，
∵k＞0，x＞0，令g（x）=+=（x+）
由双钩函数y=h（x）=x+（a＞0）的性质h（x）在（0，]单调递减，在[，+∞）单调递增得：
g（x）在[k²，k（k+1）]上单调递减，在[k（k+1），（k+1）²]单调递增
∴当x=k（k+1）时g（x）取到最小值；
当x=k²时，g（k²）=2++；
当x=（k+1）²时，g（（k+1）²）=2++=g（k²），即当x=k²或（k+1）²时g（x）取到最大值；
∴g（x）_min=，g（x）_max=2++；
由题意可知，当g（x）取到最小值时，f（x）取到最小值，g（x）取到最大值时，f（x）亦取到最大值．
∴f（x）_min=+1-=；
同理可求，f（x）_max==．
∵1≤f（x）≤9对任意x∈[k²，（k+1）²]恒成立，
∴，而k＞0，
∴0＜k≤．
点评：本题考查基本不等式，考查函数恒成立问题，考查二次函数的性质，考查综合分析与运算能力，难度大，属于难题．