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19.已知函数f(x)=Acos($\frac{x}{4}$+$\frac{π}{6}$),x∈R,且f($\frac{π}{3}$)=$\sqrt{2}$.
(1)求A的值;
(2)设α,β∈[0,$\frac{π}{2}$],f(4α+$\frac{4}{3}$π)=-$\frac{30}{17}$,f(4β-$\frac{2}{3}$π)=$\frac{8}{5}$,求cos(α+β)的值.

分析 (1)直接利用条件求得A的值.
(2)由条件根据f(4α+$\frac{4}{3}$π)=-$\frac{30}{17}$,求得sinα的值,再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值;由f(4β-$\frac{2}{3}$π)=$\frac{8}{5}$,求得cosβ的值,再利用同角三角函数的基本关系求得sinβ的值;从而求得cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ的值.

解答 解:(1)对于函数f(x)=Acos($\frac{x}{4}$+$\frac{π}{6}$),x∈R,由f($\frac{π}{3}$)=Acos$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$A=$\sqrt{2}$,
可得A=2.
(2)由于α,β∈[0,$\frac{π}{2}$],f(4α+$\frac{4}{3}$π)=2cos($\frac{4α+\frac{4π}{3}}{4}$+$\frac{π}{6}$)=2cos(α+$\frac{π}{2}$)=-2sinα=-$\frac{30}{17}$,
∴sinα=$\frac{15}{17}$,∴cosα=$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=$\frac{8}{17}$.
又 f(4β-$\frac{2}{3}$π)=2cos($\frac{4β-\frac{2π}{3}}{4}$+$\frac{π}{6}$)=2cosβ=$\frac{8}{5}$,∴cosβ=$\frac{4}{5}$,∴sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{3}{5}$.
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{8}{17}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{15}{17}$×$\frac{3}{5}$=$-\frac{13}{85}$.

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和差的余弦公式的应用,属于基础题.

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