Question

【题目】已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足 = ，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0， ]上单调递增，在区间[ ，π]上单调递减．
（1）证明：b+c=2a；
（2）若f（ ）=cos A，试判断△ABC的形状．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ ，

∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA﹣cosBsinA﹣cosCsinA

化简得sin（B+A）+sin（C+A）=2sinA，

由A+B+C=π，则sinC+sinB=2sinA，

由正弦定理得，b+c=2a

（2）解：∵f（x）=sinωx（ω＞0）在[0， ]上递增，在[ ，π]上递减，

∴ ，则T= = ，解得ω= ，

则f（x）=sin ，

∴f（ ）=sin（ ）=sin =cos A，则cos A= ，

又b+c=2a，由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA，

∴a2=（b+c）2﹣3bc，则a2=bc，

联立b+c=2a得，b=c=a，

∴△ABC是等边三角形

【解析】（1）根据两角和的正弦公式、诱导公式化简已知的式子，由正弦定理可得b+c=2a；（2）根据题意和正弦函数的单调性求出周期，由周期公式求出ω的值，化简f（ ）=cos A，求出cos A的值，利用条件和余弦定理列出方程，化简后联立方程求出a、b、c的关系，可判断出△ABC的形状．
【考点精析】掌握余弦定理的定义是解答本题的根本，需要知道余弦定理:;;．