Question

如图所示的五面体中，四边形ABCD是矩形，DA⊥面ABEF，M为EF中点，且DA=1，AB∥EF，AB=EF=2，AF=BE=2．
（Ⅰ）求证：CM∥平面ADF；
（Ⅱ）求三棱锥M-ADF的体积．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用平行四边形的判定定理和性质定理、线面平行的判定定理即可得出；
（II）利用已知可证：△FAM为直角三角形且∠FAM=90°．利用DA⊥面ABEF，且DA=1，可得DA是三棱锥D-MAF的高．
可得V_M-ADF=V_D-MAF=．
解答：（I）证明：连接CM，由题意可得，，，MF=，
∴，
∴四边形MFDC为平行四边形，
∴DF∥CM．
∵DF?平面ADF，CM?平面ADF，
∴CM∥平面ADF．
（Ⅱ）解：∵M为EF的中点，
∴EM=AB=2，
又∵AB∥EF，∴四边形ABEM是平行四边形．
∴AM=BE=2，
又∵AF=2，MF=2，
∴△FAM为直角三角形且∠FAM=90°．
∴=2．
∵DA⊥面ABEF，且DA=1，∴DA是三棱锥D-MAF的高．
∴V_M-ADF=V_D-MAF===．
点评：熟练掌握平行四边形的判定定理和性质定理、线面平行的判定定理、线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、等体积变形等是解题的关键．