Question

某海域有A、B两个岛屿，B岛在A岛正东40海里处．经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线像一个椭圆，其焦点恰好是A、B两岛．曾有渔船在距A岛正西20海里发现过鱼群．某日，研究人员在A、B两岛同时用声纳探测仪发出不同频率的探测信号（传播速度相同），A、B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3．你能否确定鱼群此时分别与A、B两岛的距离？

Answer 1

解：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系
设椭圆方程为：且------（3分）
因为焦点A的正西方向椭圆上的点为左顶点，
所以a-c=20------（5分）
又|AB|=2c=40，
则c=20，a=40，
故------（7分）
所以鱼群的运动轨迹方程是------（8分）
由于A，B两岛收到鱼群反射信号的时间比为5：3，
因此设此时距A，B两岛的距离分别为5k，3k-------（10分）
由椭圆的定义可知5k+3k=2×40=80?k=10--------（13分）
即鱼群分别距A，B两岛的距离为50海里和30海里．------（14分）
分析：以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系．设椭圆方程为：且．由焦点A的正西方向椭圆上的点为左顶点，知a-c=20，由|AB|=2c=40，知c=20，a=40，，由此能求出鱼群的运动轨迹方程是．从而能够求出鱼群分别距A，B两岛的距离．
点评：本题考查椭圆问题在生产实际中的具体应用，涉及到椭圆方程的求法，椭圆的简单性质，椭圆的直线方程的关系，解题时要认真审题，注意转化思想的灵活运用．