Question

【题目】已知函数f（x）=x2-2ax+5．

（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；

（2）若a≤1，求函数y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．

Answer 1

【答案】(1) a =2．(2) ymax=．

【解析】

（1）利用二次函数的图象，求出二次函数的最值，列出不等式组，即可解出a的值．

（2）对对称轴的位置分类讨论，结合二次函数的图象，求出函数的最大值．

（1）函数f（x）=x2-2ax+5=（x-a）2+5-a2，且a＞1，

∴f（x）在[1，a]上是减函数，又定义域和值域均是[1，a]，

∴，即，解得a =2．

（2）①当a≤0时，函数y=|f（x）|在[0，1]上单调递增，

故ymax=f（1）=6-2a，

②当0＜a≤1时，此时△=4a2-5＜0，且f（x）图象开口向上，对称轴在（0，1）内，

故ymax=max{f（0），f（1）}=max{5，6-2a}=，

综上所求：ymax=．