Question

已知椭圆Γ的焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点M(1，

3

2

)在椭圆Γ上．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）设双曲线Σ：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的顶点A、B都是曲线Γ的顶点，经过双曲线Σ的右焦点F作x轴的垂线，与Σ在第一象限内相交于N，若直线MN经过坐标原点O，求双曲线Σ的离心率．

Answer 1

考点：圆锥曲线的综合,双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的定义，求出a，利用焦点坐标，可求b，即可得到椭圆Γ的方程；
（2）确定双曲线Σ的顶点，求出N的坐标，利用直线MN经过坐标原点O，可得

b2

ac

=

3

2

，即可求出双曲线Σ的离心率．

解答： 解：（1）∵椭圆Γ的焦点为F₁（-1，0）、F₂（1，0），点M(1，

3

2

)在椭圆Γ上，
∴2a=

22+ 9 4

+

3

2

=4，
∴a=2，
∵c=1，∴b=

a2-c2

=

3

，
∴椭圆Γ的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）∵双曲线Σ：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的顶点A、B都是曲线Γ的顶点，
∴a=2，
∵经过双曲线Σ的右焦点F作x轴的垂线，与Σ在第一象限内相交于N，
∴N（c，

b2

a

），
∵直线MN经过坐标原点O，
∴

b2

ac

=

3

2

，
∴2（c²-a²）=3ac，
∴2e²-3e-2=0，
∵e＞1，
∴e=2．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．