Question

如图，直线y=

1

2

x与抛物线y=

1

8

x²-4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点．
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=-5代入求得Q的坐标．
（2）设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．

解答：解：（1）解方程组

y= 1 2 x y= 1 8 x2-4

得

x1=-4 y1=-2

或

x2=8 y2=4

即A（-4，-2），B（8，4），
从而AB的中点为M（2，1），
由k_AB═

1

2

，直线AB的垂直平分线方程y-1=-2（x-2）．
令y=-5，得x=5，
∴Q（5，-5）．
（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，

1

8

x²-4）．
∵点P到直线OQ的距离
d=

|x+ 1 8 x2-4|

2

=

1

8 2

|x2+8x-32|．
|OQ|=5

2

，∴S_△OPQ=

1

2

|OQ|d=

5

16

|x2+8x-32|
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，
∴-4≤x＜4

3

-4或4

3

-4＜x≤8．
∵函数y=x²+8x-32在区间[-4，8]上单调递增，
∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．

点评：本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．