Question

已知f(x)=

1+lnx

x

．
（1）若函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值，求实数a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=x²-2x+k有实数解，求实数k的取值范围；
（3）当n∈N*，n≥2时，求证：nf(n)＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

．

Answer 1

分析：（1）函数f（x）在区间（a，a+1）上有极值?f′（x）=0在（a，a+1）上有根，结合条件由函数的单调性可得函数有唯一极值点x=1，1∈（a，a+1）．
（2）构造函数g（x）=x²-2x+k，若关于x的方程f（x）=x²-2x+k有实数解?f（x）=g（x）有实数解?g（x）_min=g（1）≤f（x）_max
（法二）由f（x）=x²-2x+k分离系数k=

1+lnx

x

+2x-x2，构造函数h（x）=

1+lnx

x

+2x-x2 ，(x＞0)，由题意可得，k≤h（x）_max．
（3）结合函数f（x）在（1，+∞）上的单调性可得，f (

1

n

+1)＜f(1)=1?1+f(1+

1

n

)＜1+f(1)?ln (n+1)- lnn＜

1

n

，利用该结论分别把n=1，2，3，…代入叠加可证．

解答：解：（1）∵f(x)=

1+lnx

x

，∴f′(x)=

1 x •x-(1+lnx)

x2

=-

lnx

x2

∴当x∈（0，1）时，f'（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0；
∴函数f（x）在区间（0，1）上为增函数；在区间（1，+∞）为减函数（3分）
∴当x=1时，函数f（x）取得极大值，而函数f（x）在区间（a，a+1）有极值．
∴

a＜1 a+1＞1

，解得0＜a＜1
（2）由（1）得f（x）的极大值为f（1）=1，令g（x）=x²-2x+k，
所以当x=1时，函数g（x）取得最小值g（1）=k-1，
又因为方程f（x）=x²-2x+k有实数解，那么k-1≤1，即k≤2，所以实数k的取值范围是：k≤2

解法二：∵f（x）=x²-2x+k，∴k=

1+lnx

x

+2x-x2，
令h（x）=

1+lnx

x

+2x-x2，所以h'（x）=-

lnx

x2

+2-2x，当x=1时，h'（x）=0
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0
∴当x=1时，函数h（x）取得极大值为h（1）=2
∴当方程f（x）=x²-2x+k有实数解时，k≤2．）
（3）∵函数f（x）在区间（1，+∞）为减函数，而1+

1

n

＞1(n∈N*，n≥2)，
∴f(1+

1

n

)＜f(1)=1，∴1+ln(1+

1

n

)＜1+

1

n

，即ln(n+1)-lnn＜

1

n

∴lnn=ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

∴1+lnn＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

而n•f（n）=1+lnn，
nf(n)＜2+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

，结论成立

点评：本题考查函数存在极值的性质，函数与方程的转化，及利用函数的单调性证明不等式，要注意叠加法及放缩法在证明不等式中的应用．