Question

已知二次函数f（x）=tx²+2tx（t≠0）
（Ⅰ）求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若t=1，记S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a_n＞0），点(

Sn+1

+

Sn

，2an+1)在函数f（x）的图象上，求S_n的表达式．

Answer 1

分析：（I）对t分类讨论，结合根的判别式，即可求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）利用点(

Sn+1

+

Sn

，2an+1)在函数f（x）的图象上，可得2an+1=(

Sn+1

+

Sn

)2+2(

Sn+1

+

Sn

)，化简可得{

Sn

+1}是首项为2，公比为3的等比数列，从而可求S_n的表达式．

解答：解：（Ⅰ）f（x）＞1即：tx²+2tx-1＞0，
①t＞0时，方程tx²+2tx-1=0的判别式△=4t²+4t＞0----（1分）
方程两根为x=

-t± t2+t

t

----（2分）
解集是(-∞，

-t- t2+t

t

)∪(

-t+ t2+t

t

，+∞)----（3分）
②t＜0时，方程tx²+2tx-1=0的判别式△=4t²+4t
（1）当4t²+4t≤0，即-1≤t＜0时，解集是φ----（4分）
（2）当4t²+4t＞0即t＜-1时，解集是(

-t- t2+t

t

，

-t+ t2+t

t

)----（5分）
综上所述，t＞0时，解集是(-∞，

-t- t2+t

t

)∪(

-t+ t2+t

t

，+∞)；-1≤t＜0时，解集是φ；t＜-1时，解集是(

-t- t2+t

t

，

-t+ t2+t

t

)----（6分）
（Ⅱ）由题意，f（x）=x²+2x
∵点(

Sn+1

+

Sn

，2an+1)在函数f（x）的图象上，
∴2an+1=(

Sn+1

+

Sn

)2+2(

Sn+1

+

Sn

)----（7分）
整理得(

Sn+1

+

Sn

)(

Sn+1

+

Sn

+2)=2an+1=2(Sn+1-Sn)=2(

Sn+1

+

Sn

)(

Sn+1

-

Sn

)
∴

Sn+1

+

Sn

+2=2(

Sn+1

-

Sn

)
∴

Sn+1

=3

Sn

+2----（9分）
∴(

Sn+1

+1)=3(

Sn

+1)，
又

S1

+1=

a1

+1=2，----（10分）
所以{

Sn

+1}是首项为2，公比为3的等比数列，
∴

Sn

+1=2•3n-1
∴Sn=(2•3n-1-1)2，n∈N+----（12分）

点评：本题考查解不等式，考查分类讨论的数学思想，考查数列与函数的结合，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．