【题目】如图,已知四棱锥中,底面为菱形,且, 是边长为的正三角形,且平面平面,点是的中点.
(1)证明: 平面;
(2)求三棱锥的体积.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)连结交于,连结,由中位线定理可得,根据线面平行的判定定理可得平面;(2)取中点,连结,则平面,由,即可求出三棱锥的体积.
试题解析:(Ⅰ)连结交于,连结,
因为为菱形, ,所以,
由直线不在平面内, 平面,
所以平面.
(Ⅱ)取的中点,连接,则,且.
因为平面平面,所以平面.
所以,
又是中点,所以.
所以 .
【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、面面垂直的性质、线面垂直的判定、利用等积变换求三棱锥体积,属于难题.证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题(1)是就是利用方法①证明的.
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【题目】某餐厅装修,需要大块胶合板张,小块胶合板张,已知市场出售两种不同规格的胶合板。经过测算, 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板张,小块胶合板张, 种规格的胶合板可同时截得大块胶合板张,小块胶合板张.已知种规格胶合板每张元, 种规格胶合板每张元.分别用表示购买两种不同规格的胶合板的张数.
(1)用列出满足条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)根据施工需求, 两种不同规格的胶合板各买多少张花费资金最少?并求出最少资金数.
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【题目】下列命题中,正确的序号是 . ①y=﹣2cos( π﹣2x)是奇函数;
②若α,β是第一象限角,且α>β,则sinα>sinβ;
③x=﹣ 是函数y=3sin(2x﹣ )的一条对称轴;
④函数y=sin( ﹣2x)的单调减区间是[kπ﹣ ,kπ+ ](k∈Z)
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【题目】已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为A、B,左、右焦点分别是F1 , F2 , 在线段AB上有且只有一个点P满足PF1⊥PF2 , 则椭圆的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】如图,四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,侧棱A1A⊥底面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,AD=CD=1,AA1=AB=2,E为棱AA1的中点.
(1)证明B1C1⊥CE;
(2)求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值.
(3)设点M在线段C1E上,且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为 ,求线段AM的长.
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【题目】已知圆心为C的圆过点A(0,﹣6)和B(1,﹣5),且圆心在直线l:x﹣y+1=0上.
(1)求圆心为C的圆的标准方程;
(2)过点M(2,8)作圆的切线,求切线方程.
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【题目】已知函数y=f(x)对于任意x∈R有 ,且当x∈[﹣1,1]时,f(x)=x2+1,则以下命题正确的是: ①函数数y=f(x)是周期为2的偶函数;
②函数y=f(x)在[2,3]上单调递增;
③函数 的最大值是4;
④若关于x的方程[f(x)]2﹣f(x)﹣m=0有实根,则实数m的范围是[0,2];
⑤当x1 , x2∈[1,3]时, .
其中真命题的序号是 .
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【题目】在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中,若AB1⊥BC1 , 则下列关于直线A1C和AB1 , BC1的关系的判断正确的为( )
A.A1C和AB1 , BC1都垂直
B.A1C和AB1垂直,和BC1不垂直
C.A1C和AB1 , BC1都不垂直
D.A1C和AB1不垂直,和BC1垂直
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