Question

15、如图：点P在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线BC₁上运动，则下列四个命题：
①三棱锥A-D₁PC的体积不变；
②A₁P∥面ACD₁；
③DP⊥BC₁；
④面PDB₁⊥面ACD₁．
其中正确的命题的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：如右图，对于①，容易证明AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，以P为顶点，平面AD₁C为底面，易得；对于②，连接A₁B，A₁C₁容易证明平面BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得；
对于③，由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁平面，若DP⊥BC₁，则DC与DP重合，与条件矛盾；对于④，容易证明PDB₁⊥面ACD₁，从而可以证明面面垂直．

解答：解：对于①，容易证明AD₁∥BC₁，从而BC₁∥平面AD₁C，故BC₁上任意一点到平面AD₁C的距离
均相等，所以以P为顶点，平面AD₁C为底面，则三棱锥A-D₁PC的体积不变；正确；
对于②，连接A₁B，A₁C₁容易证明A₁C₁∥AD₁且相等，由于①知：AD₁∥BC₁，
所以BA₁C₁∥面ACD₁，从而由线面平行的定义可得；正确；
对于③由于DC⊥平面BCB₁C₁，所以DC⊥BC₁平面，若DP⊥BC₁，则DC与DP重合，与条件矛盾；错误；对于④，连接DB₁，容易证明DB₁⊥面ACD₁，从而由面面垂直的判定知：正确．
故答案为：①②④

点评：本题考查三棱锥体积求法中的等体积法；线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．