Question

已知四棱锥P-ABCD（如图）底面是边长为2的正方形．侧棱PA⊥底面ABCD，M、N分别为AD、BC的中点，MQ⊥PD于Q．
（Ⅰ）求证：平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅱ）直线PC与平面PBA所成角的正弦值为

3

3

，求PA的长；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求二面角P-MN-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由已知中，侧棱PA⊥底面ABCD，可得MN⊥PA，结合已知MN⊥AD，由线面垂直的判定定理可得MN⊥平面PAD，再由面面垂直的判定定理，可得平面PMN⊥平面PAD；
（Ⅱ）由已知中BC⊥BA，BC⊥PA，结合线面垂直的判定定理可得，BC⊥平面PBA，即∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角，结合直线PC与平面PBA所成角的正弦值为

3

3

，解三角形PBC，即可得到答案．
（III）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD，故∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角，解三角形PMQ，即可求出二面角P-MN-Q的余弦值．

解答：证明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，MN?底面ABCD
∴MN⊥PA   又MN⊥AD   且PA∩AD=A
∴MN⊥平面PAD  …（3分）
MN?平面PMN∴平面PMN⊥平面PAD  …（4分）
解：（Ⅱ）∵BC⊥BA   BC⊥PA   PA∩BA=A∴BC⊥平面PBA
∴∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角
即sin∠BPC=

3

3

…（7分）
在Rt△PBC中，PC=BC：sin∠BPC=2

3

∴PA=

PC2-AC 2

=

(2 3 )2-(2 2 )2

=2…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）MN⊥平面PAD知   PM⊥MN   MQ⊥MN
∴∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角  …（11分）
而PM=

5

，MQ=

2

2

∴cos∠PMQ=

MQ

PM

=

10

10

…（13分）

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，平面与平面垂直的判定，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是根据已知条件，进行空间线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化，（II）的关键是确定∠BPC为直线PC与平面PBA所成的角，（III）中关键是确定∠PMQ即为二面角P-MN-Q的平面角，将空间线面夹角和二面角问题转化为解三角形问题．