Question

（2012•安徽模拟）如图，已知四棱锥S-ABCD中，△SAD是边长为a的正三角形，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，P为AD的中点，Q为SB的中点．
（1）求证：PQ∥平面SCD；
（2）求二面角B-PC-Q的余弦值．

Answer 1

分析：（1）取SC中点R，连接QR，DR，根据线面平行的判定定理，在平面上找出一条直线与已知直线平行，即证PQ∥DR，从而有PQ∥面SCD；
（2）以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，只要求得两半平面的一个法向量即可，先求得相关点的坐标，进而得到相关向量的坐标，然后用向量的夹角公式求解．

解答：（1）证明：取SC中点R，连接QR，DR，

由题意知OD∥BC且OD=

1

2

BC，QR∥BC且QR=

1

2

BC，
∴QR∥OD且QR=OD
∴四边形PDRQ为平行四边形
∴PQ∥DR，又PQ?平面SCD，DR?平面SCD
∴PQ∥平面SCD；
（2）解：以P为坐标原点，PA为x轴，PB为y轴，PS为z轴建立空间直角坐标系，
则S（0，0，

3

2

a），B（0，

3

2

a，0），C（-a，

3

2

a，0），Q（0，

3

4

a，

3

4

a）
平面PBC的法向量为

PS

=（0，0，

3

2

a）
设

n

=（x，y，z）为平面PQC的一个法向量
由

n • PQ =0 n • PC =0

得

3 ay 4 + 3 az 4 =0 -ax+ 3 ay 2 =0

，取y=

3

，得

n

=（

3

2

，

3

，-

3

_
∴cos＜

n

，

PS

＞=

- 3 2 a

3 a 2 × 33 2

=

2

11

11

∵二面角B-PC-Q的平面角为锐角
∴二面角D-OC-Q的余弦值为

2

11

11

点评：本题主要考查线线，线面平行关系的转化及平面图形的应用，还考查了向量法在求二面角中的应用，属中档题．