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    如图，半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA＝2，B为半圆上任意一点，以AB为一边作等边三角形ABC.问：点B在什么位置时，四边形OACB面积最大？

     

     

    即∠AOB＝时，四边形OACB面积最大

    【解析】设∠AOB＝α，在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2×OA×OBcos∠AOB＝12＋22－2×1×2×cosα

    ＝5－4cosα，

    于是，四边形OACB的面积为

    S＝S△AOB＋S△ABC＝OA·OBsinα＋AB2

    ＝×2×1×sinα＋(5－4cosα)

    ＝sinα－cosα＋＝2sin＋.

    因为0＜α＜π，所以当α－＝，α＝，即∠AOB＝时，

    四边形OACB面积最大

     

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