Question

容器A内装有6升质量分数为20%的盐水溶液，容器B内装有4升质量分数为5%的盐水溶液，先将A内的盐水倒1升进入B内，再将B内的盐水倒1升进入A内，称为一次操作；这样反复操作n次，A、B容器内的盐水的质量分数分别为a_n，b_n，
（ I）问至少操作多少次，A、B两容器内的盐水浓度之差小于1%？（取lg2=0.3010，lg3=0.4771）
（Ⅱ）求a_n、b_n的表达式，并求

lim

n→∞

an与

lim

n→∞

bn的值．

Answer 1

（ I）∵b1=

1

5

(

1

5

+4×

1

20

)=

2

25

，a1=

1

6

(

2

25

+5×

1

5

)=

9

50

；
bn+1=

an+4bn

5

，an+1=

1

6

(5an+bn+1)=

26an+4bn

30

；
∴an+1-bn+1=

2

3

(an-bn)，
∴{an-bn}是q=

2

3

的等比数列，
∴an-bn=

1

10

×(

2

3

)n-1＜

1

100

，
∴n-1＞log

2

3

1

10

=

1

lg3-lg2

≈5.7，
∴n≥7，故至少操作7次；
（Ⅱ）∵bn+1=

1

5

[bn+

1

10

×(

2

3

)n-1+4bn]，
∴bn+1-bn=

3

100

×(

2

3

)n
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=

2

25

+

3

100

×[

2

3

+(

2

3

)2+…+(

2

3

)n-1]=-

3

100

×(

2

3

)n+

7

50

，
而an=bn+

1

10

×(

2

3

)n-1=

3

50

×(

2

3

)n+

7

50

；
∴

lim

n→∞

an=

lim

n→∞

bn=

7

50

．