Question

【题目】如图，多面体中， 两两垂直，且， ， ，

.

(Ⅰ) 若点在线段上，且，求证: 平面；

(Ⅱ)求直线与平面所成的角的正弦值；

(Ⅲ)求锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ） ；（Ⅲ）

【解析】试题分析：（Ⅰ）分别取的中点，连接，由已知条件推导出四边形是平行四边形，从而得到，即可证明平面；（Ⅱ）以点为原点，分别以所在直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，利用法向量即可求出直线与平面所成的角的正弦值；（Ⅲ）分别求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法即可求出二面角的余弦值.

试题解析：（Ⅰ）分别取的中点，连接，则有， .

∵，∴ ，又∵，∴ ，

∴四边形是平行四边形， ∴，

又∵平面， 平面，∴ 平面；

（Ⅱ）如图，以点为原点，分别以所在直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.则 ，

， ， ，

设平面的一个法向量，则有

，化简，得，

令，得，

设直线与平面所成的角为，则有，

∴直线与平面所成的角的正弦值为；

（Ⅲ）由已知平面的法向量， ，

设平面的一个法向量，则有

∴，∴ ，令，则，

设锐二面角的平面角为，

则 ，

∴锐二面角的余弦值为.