Question

已知函数的图象在点(1, f(1))处的切线方程为x-y-2=0
(I )用a表示b, c；
(II) 若函数g(x)=x-f(x)在上的最大值为2，求实数a的取值范围.

Answer 1

（1）c=-a-1  （2）

(I ) 根据函数在点(1, f(1))处的切线方程为x-y-2=0，得，和切点在切线上；(II)求导，讨论a的值对单调性的影响，求最大值。
解：（I），
由题，，得-a+b=1．
∴ b=a+1．
又切点(1，a+c)在直线x-y-2=0上，得1-(a+c)-2=0，
解得c=-a-1．  ………………………………………………………………4分
（II）g(x)，
∴ ，
令，得x=1，或x=a．………………………………………………8分
i)当a≥1时，由0<x≤1知，≥0，∴ g(x)在(0，1]上递增．
∴ g(x)_max=g(1)=2．于是a≥1符合条件． ……………10分
ii)当0<a<1时，当0<x<a时，；a<x<1时，(x)<0，
∴ g(x)在(0，a)上递增，g(x)在(a，1)上递减．得g(x)_max=g(a)>g(1)=2，与题意矛盾．∴ 0<a<1不符合题意． 综上知实数a的取值范围为