Question

已知A、B、C为△ABC的三个内角，

a

=（sinB+cosB，cosC），

b

=（sinC，sinB-cosB）．
（1）若

a

•

b

=0，求角A；
（2）若

a

•

b

=-

1

5

，求tan2A．

Answer 1

考点：二倍角的正切,平面向量的综合题

专题：三角函数的求值

分析：（1）由数量积为0和三角函数公式化简可得tanA=-1，结合A的范围可得；
（2）由

a

•

b

=-

1

5

和（1）可得sinA+cosA=-

1

5

，再由三角函数知识可得sinA-cosA=

7

5

，联立可解sinA和cosA，由同角三角函数的基本关系可得．

解答： 解：（1）由已知

a

•

b

=0得（sinB+cosB）sinC+cosC（sinB-cosB）=0，
化简得sin（B+C）-cos（B+C）=0，
即sinA+cosA=0，∴tanA=-1．
∵A∈（0，π），∴A=

3

4

π．
（2）∵

a

•

b

=-

1

5

，∴sin（B+C）-cos（B+C）=-1，
∴sinA+cosA=-

1

5

．①
平方得2sinAcosA=-

24

25

．
∵-

24

25

＜0，∴A∈（

π

2

，π）．
∴sinA-cosA=

1-2sinAcosA

=

7

5

．②
联立①②得，sinA=

3

5

，cosA=-

4

5

．
∴tanA=

sinA

cosA

=-

3

4

．
∴tan2A=

2tanA

1-tan2A

=-

24

7

．

点评：本题考查二倍角的正切公式，涉及向量和三角函数的基本公式，属基础题．