Question

已知函数f（x），若对给定的△ABC，它的三边的长a，b，c均在函数f（x）的定义域内，且f（a），f（b），f（c）也为某三角形的三边的长，则称f（x）是“保三角形函数”，给出下列命题：
①函数f（x）=x²+1是“保三角形函数”；
②函数f（x）=

x

（x＞0）是“保三角形函数”；
③若函数f（x）=kx是“保三角形函数”，则实数k的取值范围是（0，+∞）；
④若函数f（x）是定义在R上的周期函数，值域为（0，+∞），则f（x）是“保三角形函数”；
⑤若函数f（x）=

e2x+t•ex+1

e2x+ex+1

是“保三角形函数”，则实数t的取值范是[-

1

2

，4]．
其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：判断函数f（x）是不是“三角形函数”，只须对任意的三角形，设它的三边长分别为a，b，c，则a+b＞c，不妨假设a≤c，b≤c，判断f（a），f（b），f（c）是否满足任意两数之和大于第三个数，即任意两边之和大于第三边即可．
①f（x）=x²+1，举例即可说明错误；
②f（x）=

x

（x＞0），设△的三边长分别为a，b，c，且a+b＞c，不妨设a≤c，b≤c，则f（a）+f（b）=

a

+

b

＞

a+b

，f（a）+f（b）＞f（c），命题②正确；
③在函数f（x）=kx的定义域内任取三个正数a，b，c，不妨设a＞b＞c＞0，由a，b，c构成三角形的条件得到a+b＞c，再由对应的函数值为ka，kb，kc可构成一个三角形的三边求得k的范围判断命题正确；
④举例说明命题错误．
⑤因对任意实数a、b、c，都存在以f（a）、f（b）、f（c）为三边长的三角形，则f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，将f（x）解析式用分离常数法变形，由均值不等式可得分母的取值范围，整个式子的取值范围由t-1的符号决定，故分为三类讨论，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论k转化为f（a）+f（b）的最小值与f（c）的最大值的不等式，进而求出实数k 的取值范围．

解答： 解：①对于函数f（x）=x²+1，2、3、4可以构成一个三角形的三边，且在其定义域内，但f（2）=5，f（3）=10，f（4）=17构不成一个三角形的三边，命题①错误；
②对于f（x）=

x

（x＞0），设△的三边长分别为a，b，c，且a+b＞c，不妨设a≤c，b≤c，则f（a）+f（b）=

a

+

b

＞

a+b

，f（c）=

c

＜

a+b

，∴f（a）+f（b）＞f（c），命题②正确；
③对于函数f（x）=kx，不妨设a＞b＞c＞0，则a+b＞c，对应的函数值为ka，kb，kc，若ka，kb，kc是一个三角形的三边，
则k＞0，且ka+kb＞kc，即k（a+b）＞kc，此式在k＞0时恒成立，则实数k的取值范围是（0，+∞），命题③为真命题；
④对于定义在R上的周期函数f（x），值域是（0，+∞），设T（T＞0）是f（x）的一个周期，则存在n＞m＞0，有f（m）=1，f（n）=2，
取正整数λ＞

n-m

T

，则λT+m，λT+m，n是三角形的三边，又f（λT+m）=1，f（λT+m）=1，f（n）=2不能组成三角形，∴命题④错误．
⑤由题意可得f（a）+f（b）＞f（c）对于?a，b，c∈R都恒成立，
由于f（x）=

e2x+t•ex+1

e2x+ex+1

=1+

t-1

e2x+ex+1

•e^x=1+

t-1

ex+ 1 ex +1

，
当t-1=0，f（x）=1，此时，f（a），f（b），f（c）都为1，构成一个等边三角形的三边长，满足条件．
当t-1＞0，f（x）在R上是减函数，1＜f（a）≤1+

1

3

（t-1）=

t+2

3

，
同理1＜f（b）≤

t+2

3

，1＜f（c）≤

t+2

3

，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2≥

t+2

3

，解得1＜t≤4．
当t-1＜0，f（x）在R上是增函数，

t+2

3

≤f（a）＜1，
同理

t+2

3

≤f（b）＜1，

t+2

3

≤f（c）＜1，
由f（a）+f（b）＞f（c），可得2×

t+2

3

≥1，解得1＞t≥-

1

2

．
综上可得，-

1

2

≤t≤4，∴⑤正确
∴正确的命题是②③⑤．
故答案为：②③⑤．

点评：本题通过命题真假的判定，考查了新定义下的函数模型的应用问题，是比较容易出错的题目，是中档题．