Question

设C₁，C₂，…，C_n，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=

3

3

x相切，对每一个正整数n，圆C_n都与圆C_n+1相互外切，以r_n表示C_n的半径，以（λ_n，0）表示C_n的圆心，已知{r_n}为递增数列．
（1）证明{r_n}为等比数列（提示：

rn

λn

=sinθ，其中θ为直线y=

3

3

x的倾斜角）；
（2）设r₁=1，求数列{

n

rn

}的前n项和S_n；
（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n恒有不等式Sn＞

9

4

-

an

rn

成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意可知tanθ=

3

3

，由同角三角函数的基本关系可得sinθ，从而得

rn

λn

，得r_n与λ_n的关系式①，再根据圆C_n都与圆C_n+1相互外切，得λ_n+1-λ_n=r_n+r_n+1②，由①②可得r_n+1与r_n的关系式，根据等比数列的定义可作出判断；
（2）由（1）易求r_n，从而可得

n

rn

，利用错位相减法可求得S_n；
（3）由（2）可表示出不等式Sn＞

9

4

-

an

rn

，分离出参数a后，转化为求函数的最值即可，利用函数的单调性易求函数的最值；

解答：解：（1）证明：依题意可知tanθ=

3

3

，则sinθ=

1

2

，
所以

rn

λn

=

1

2

，得λ_n=2r_n，∴λ_n+1=2r_n+1，
又圆C_n都与圆C_n+1相互外切，
所以λ_n+1-λ_n=r_n+r_n+1，即2r_n+1-2r_n=r_n+r_n+1，从而可得r_n+1=3r_n，
故数列{r_n}为等比数列，公比为3．
（2）由于r₁=1，q=3，故rn=3n-1，从而

n

rn

=

n

3n-1

，
∴Sn=

1

r1

+

2

r2

+…+

n-1

rn-1

+

n

rn

=1+2•3^-1+3•3^-2+…+（n-1）•3^2-n+n•3^1-n①，

1

3

Sn=1•3-1+2•3-2+…+(n-1)•31-n+n•3-n②，
由①-②，得

2

3

Sn=1+3-1+3-2+…+•31-n-n•3-n=

1-3-n

1- 1 3

-n•3-n=

3

2

-(n+

3

2

)•3-n，
∴Sn=

9

4

-

(2n+3)•31-n

4

；
（3）由（2）可知Sn＞

9

4

-

an

rn

可化为

9

4

-

(2n+3)•31-n

4

＞

9

4

-

an

3n-1

，即a＞

2n+3

4n

=

1

2

+

3

4n

，
要使对任意的正整数n恒有不等式a＞

2n+3

4n

=

1

2

+

3

4n

成立，只需a＞[

1

2

+

3

4n

]max，
令f(x)=

1

2

+

3

4x

，则函数f（x）在（0，+∞）为单调递减函数．
又n∈N^*，∴当n=1时，[

1

2

+

3

4n

]max=

5

4

，
∴a＞

5

4

．

点评：本题考查数列与不等式的综合、数列与解析几何的综合，考查等比数列的定义及通项公式，考查转化思想，对恒成立问题往往转化为函数最值解决．