Question

已知非零数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{b_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项a_n和b_n；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，若不等式nT_n＞a•2ⁿ+6n对任意的n∈N^*恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由于a_n是S_n与2的等差中项，可得S_n=2a_n-2，利用n≥2时a_n=S_n-S_n-1可得

an

an-1

=2，再利用等比数列的通项公式即可得出a_n．由于点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，可得b_n-b_n+1+2=0，利用等差数列的通项公式可得b_n．
（II）利用“错位相减法”、等比数列的前n项和、二次函数的性质即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n是S_n与2的等差中项，
∴S_n=2a_n-2，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2，
∴a_n=2a_n-2a_n-1．
∵a_n≠0，∴

an

an-1

=2，
∴数列{a_n}是等比数列，
又由 a₁=S₁=2a₁-2，解得 a₁=2
∴an=2n．
∵点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上，
∴b_n-b_n+1+2=0，∴b_n+1-b_n=2，
∴数列{b_n}是等差数列，又b₁=1，
∴b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2ⁿ．
∴T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ
∴2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2•2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．
∵不等式nT_n＞a•2ⁿ+6n对任意的n∈N^*恒成立，即n[（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6]＞a•2ⁿ+6n．
亦即a＜4n²-6n恒成立．
∵f（n）=4n²-6n=4(n-

3

4

)2-

9

4

≥f（1）=-2．
∴a＜-2．
∴a的取值范围是（-∞，-2）．

点评：本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列通项公式及其前n项和公式、二次函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．