Question

已知数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-1+1．
（1）若S_n=a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ，（n∈N^*），求证：当n为偶数时，S_n-2ⁿ-4n-1能被64整除．
（2）是不是存在等差数列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）对一切n∈N^*都成立？若存在，求数列{b_n}的通项公式；若不存在，则请说明理由．
（3）记T_n=1!C_n¹+2!C_n²+3!C_n³+…+n!C_nⁿ（n=1，2，3，…），当n≥2时，求证：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tn

）≤3-

1

1+log2(an-1)

．

Answer 1

分析：（1）利用二项式定理、二项式系数的性质化简S_n 为3ⁿ+2ⁿ，设n=2k，k∈z₊，则S_n-2ⁿ-4n-1=3ⁿ -4n-1=9^k-8k-1，用数学归纳法证明它能被64整除．
（2）分别令n=1、2、3 求出b₁ =1，b₂ =2，b₃=3，若存在等差数列{b_n}，则 b_n =n，由C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1 =
2^n-1 成立，可得C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（a_n-1）=n2^n-1 对一切n∈N^*都成立，故却是存在等差数列{b_n}，满足条件．
（3）要证的不等式即：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tn

）≤3-

1

n

，用数学归纳法和放缩法证明此不等式成立．

解答：（1）证明：由已知得，S_n =a₁C_n⁰+a₂C_n¹+a₃C_n²+…+a_n+1C_nⁿ=（1+1）C_n⁰+（2+1）C_n¹+（2²+1）C_n²+…+（2ⁿ）C_nⁿ
=（C_n⁰+2C_n¹+2²C_n²+…+2ⁿC_nⁿ）+（C_n⁰+C_n¹+C_n²+…+C_nⁿ）=（1+2）ⁿ+2ⁿ=3ⁿ+2ⁿ．
当n为偶数时，设n=2k，k∈z₊，则S_n-2ⁿ-4n-1=3ⁿ -4n-1=9^k-8k-1．
当k=1时，9^k-8k-1=0，显然能被64整除．
假设 9^m-8m-1 能被64整除m为正整数，则n=m+1时，9^k-8k-1=99^m-8m-8-1=9（9^m-8m-1 ）+64m，
由假设知，9（9^m-8m-1 ）能被64整除，再由64m 也能被64整除，
可得k=m+1时，9^m-8m-1仍能被64整除．
综上可得当n为偶数时，S_n-2ⁿ-4n-1 能被64整除．
（2）∵b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）对一切n∈N^*都成立，a_n=2^n-1+1，
故当n=1时，有 b₁ =a₁ -1=1，
当n=2时，有 2 b₁ +b₂ =2（a₂ -1）=4，∴b₂ =2．
当n=3时，有  3b₁ +3b₂+b₃=3（a₃-1），即 3+6+b₃=3×4，∴b₃=3．
若存在等差数列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）对一切n∈N^*都成立，则应有b_n =n．
由二项式定理可得 C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1 =2^n-1 成立，
故有n（C_n-1⁰+C_n-1¹+C_n-1²+C_n-1³++C_n-1^n-1）=n•2^n-1，即C_n¹+2C_n²+…+nC_nⁿ=n（a_n-1）=n2^n-1 对一切n∈N^*都成立，
故存在等差数列{b_n}，使得b₁C_n¹+b₂C_n²+…+b_nC_nⁿ=n（a_n-1）对一切n∈N^*都成立，此时，b_n =n．
（3）T_n=1!C_n¹+2!C_n²+3!C_n³+…+n!C_nⁿ（n=1，2，3，…），
由题意可得

1

1+log2(an-1)

=

1

1+(n-1)

=

1

n

，∴3-

1

1+log2(an-1)

=3-

1

n

．
要证的不等式即：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tn

）≤3-

1

n

．
当n=2时，不等式的左边等于 （1+

1

1

）（1+

1

4

）=

5

2

，右边等于3-

1

2

=

5

2

，不等式成立．
假设n=k时，不等式成立，即：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tk

）≤3-

1

k

，
则n=k+1时，不等式的左边等于：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tk

）（1+

1

Tk+1

）≤（3-

1

k

）（1+

1

Tk+1

）
≤（3-

1

k

）（1+

1

k+1

）=3+

-4

3(k+1)

＜3-

3

3(k+1)

=3-

1

(k+1)

=右边，
故n=k+1时，（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tn

）≤3-

1

n

也成立．
综上可得：（1+

1

T1

）（1+

1

T2

）（1+

1

T3

）…（1+

1

Tn

）≤3-

1

1+log2(an-1)

成立．

点评：本题主要考查用裂项法对数列进行求和，用数学归纳法证明等式和不等式，注意式子的结构特征，以及从n=k到n=k+1项的变化，属于难题．