Question

如图，已知过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点A（-a，0）作直线1交y轴于点P，交椭圆于点Q，若△AOP是等腰三角形，且

PQ

=2

QA

，则椭圆的离心率为

2 5

5

．

Answer 1

分析：利用等腰三角形的性质和向量相等运算即可得出点Q的坐标，再代入椭圆方程即可．

解答：解：∵△AOP是等腰三角形，A（-a，0）∴P（0，a）．
设Q（x₀，y₀），∵

PQ

=2

QA

，∴（x₀，y₀-a）=2（-a-x₀，-y₀）．
∴

x0=-2a-2x0 y0-a=-2y0

，解得

x0=- 2 3 a y0= 1 3 a

．
代入椭圆方程得

4 9 a2

a2

+

1 9 a2

b2

=1，化为

b2

a2

=

1

5

．
∴e=

c

a

=

1- b2 a2

=

2 5

5

．
故答案为

2 5

5

．

点评：熟练掌握等腰三角形的性质和向量相等运算、“代点法”等是解题的关键．