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6.已知函数f(x)=|x-2|-|2x|+3.
(1)解不等式f(x)≥0;
(2)若对任意实数x,都有f(x)≥a-3|x|,求实数a的取值范围.

分析 (1)通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可;(2)问题转化为a≤|x-2|+|x|,根据绝对值的意义,求出a的范围即可.

解答 解:(1)f(x)≥0,即|x-2|-|2x|+3≥0,
x≤0时,2-x+2x+3≥0,解得:0≥x≥-5,
0<x<2时,2-x-2x+3≥0,解得:0<x≤$\frac{5}{3}$,
x≥2时,x-2-2x+3≥0,解得:x≤1,无解,
综上,不等式的解集是[0,$\frac{5}{3}$];
(2))若对任意实数x,f(x)≥a-3|x|,
即对任意实数x,|x-2|-|2x|+3≥a-3|x|,
即a≤|x-2|+|x|,
而|x-2|+|x|≥|x-2-x|=2,
故a≤2.

点评 本题考查了绝对值的性质,考查分类讨论思想,是一道中档题.

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