Question

已知函数f(x)=

3

(sin2x-cos2x)-2sinxcosx．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设x∈[-

π

3

， 

π

3

]，求f（x）的值域和取得最小值时x的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为 -2sin(2x+

π

3

)，从而得到f（x）的最小正周期．
（2）设x∈[-

π

3

， 

π

3

]，求出-

π

3

≤2x+

π

3

≤π，从而得到-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，从而求出f（x）的值域和取得最小值时x的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=-

3

(cos2x-sin2x)-2sinxcosx=-

3

cos2x-sin2x=-2sin(2x+

π

3

)．…（4分）
∴f（x）的最小正周期为π．                                  …（5分）
（Ⅱ）∵x∈[-

π

3

， 

π

3

]，∴-

π

3

≤2x+

π

3

≤π，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1．∴f（x）的值域为[-2， 

3

]．       　     …（10分）
当f（x） 取最小值-2时，2x+

π

3

=

π

2

，即x=

π

12

．               …（12分）

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的定义域和值域，求三角函数的最值，属于中档题．