Question

15．若随机变量X～N（2，3²），且P（X≤1）=P（X≥a），则（x+a）²（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵展开式中x³项的系数是1620．

Answer 1

分析 根据正态分布的概率性质求出a的值，再化（x+a）²（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵=（x²+6x+9）${（3x-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{5}$；利用${（3x-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{5}$展开式的通项公式求出含x²的系数，即可求出对应项的系数．

解答 解：随机变量X～N（2，3²），均值是2，
且P（X≤1）=P（X≥a），
∴a=3；
∴（x+a）²（ax-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵=（x+3）²（3x-$\frac{1}{\sqrt{x}}$）⁵=（x²+6x+9）${（3x-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{5}$；
又${（3x-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{5}$展开式的通项公式为
T_r+1=${C}_{5}^{r}$•（3x）^5-r•${（-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{r}$=（-1）^r•3^5-r•${C}_{5}^{r}$•${x}^{5-\frac{3r}{2}}$，
令5-$\frac{3r}{2}$=1，解得r=$\frac{8}{3}$，不合题意，舍去；
令5-$\frac{3r}{2}$=2，解得r=2，对应x²的系数为（-1）²•2³•${C}_{5}^{2}$=270；
令5-$\frac{3r}{2}$=3，解得r=$\frac{4}{3}$，不合题意，舍去；
∴展开式中x³项的系数是6×270=1620．
故答案为：1620．

点评 本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，是基础题．