Question

若在由正整数构成的无穷数列{a_n}中，对任意的正整数n，都有a_n≤a_n+1，且对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，则a₂₀₀₈=

63

．

Answer 1

分析：利用已知条件，判断出数列中的各项特点，判断出第2008 项所在的组，求出第2008项．

解答：解：∵对任意的正整数k，该数列中恰有k个k，
∴数列是1；2，2，；3，3，3；4，4，4，4；…
则当n=62，
1+2+3+…+n=

n(1+n)

2

=

62(1+62)

2

=1953＜2008
当n=63，
1+2+3+…+n=

n(1+n)

2

=

63(1+63)

2

=2016＞2008
∴a₂₀₀₈在第63组中，
故a₂₀₀₈=63．
故答案为63

点评：本题考查数列的函数特性．解答关键是利用已知条件，判断出数列具有的函数性质，利用函数性质求出特定项．