Question

（2013•茂名二模）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别在边CD，CB上，点E与点C，点D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O，沿EF将△CEF折起到△PEF的位置，使得平面PEF⊥平面ABFED

（1）求证：BD⊥平面POA
（2）当点O 在何位置时，PB取得最小值？
（3）当PB取得最小值时，求四棱锥P-BDEF的体积．

Answer 1

分析：（1）由菱形的性质可得BD⊥AO，再利用面面垂直的性质可得PO⊥平面ABFED，得到PO⊥BD，进而得到结论；
（2）设AO∩BD=H．设OH=x(0＜x＜2

3

)．由（1）可知：PO⊥平面ABFED．得到△POB为直角三角形．利用勾股定理可得到PB²关于x的二次函数，即可得到答案；
（3）由（2）可知：PB取得最小值，此时O为CH的中点．于是EF为△BCD边BD的中位线，可得梯形EFBD的面积，由（1）可知：PO⊥平面BEFD，∴PO是四棱锥P-BDEF的高．
利用四棱锥的体积计算公式即可．

解答：（1）证明：在菱形ABCD中，∵BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD，
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．
（2）解：连接OB，设AO∩BD=H．由（1）可知；AC⊥BD．
∵∠DAB=60°，BC=4，∴BH=2，CH=2

3

．
设OH=x(0＜x＜2

3

)．
由（1）可知：PO⊥平面ABFED．故△POB为直角三角形．
∴PB²=OB²+PO²=（BH+OH）²+PO²=4+x2+(2

3

-x)2
=2x2-4

3

x+16=2(x-

3

)2+10，
当x=

3

时，PB取得最小值，此时O为CH的中点．
（3）解：PB取得最小值，此时O为CH的中点．
∴EF为△BCD边BD的中位线，∴S_梯形EFBD=

(BD+EF)•OH

2

=3

3

．
由（1）可知：PO⊥平面BEFD，∴PO是四棱锥P-BDEF的高．
∴V_P-BDEF=

1

3

S梯形BDEF•PO=

1

3

×3

3

×

3

=3．

点评：熟练掌握菱形的性质、面面垂直的性质、线面垂直的判定、勾股定理可、二次函数的单调性、梯形EFBD的面积、四棱锥的体积是解题的关键．