Question

给出下列四个命题：①若y=±

3

x是一个双曲线的两条渐近线，则这个双曲线的离心率为2；
②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件；
③若a＞0，b＞0，且a+b=4，则

1

a2+b2

的最大值是

1

8

；
④若f（x）=1-|x-1|（x＞0），则函数F（x）=xf（x）-1只有一个零点，
其中正确命题的序号是

②③④

．（将你认为正确命题的序号都填上）．

Answer 1

分析：根据双曲线渐近线的定义，可得①不正确；根据三角形大角对大边，结合正弦定理可得②正确；利用基本不等式求最值，可得③正确；对x的范围进行讨论，分别求函数F（x）的零点，可得④是真命题．

解答：解：对于①，y=±

3

x是双曲线的两条渐近线，可得

b

a

=

3

或

a

b

=

3

，所以双曲线的离心率为2或

2 3

3

，故①错；
对于②，在△ABC中，“A＞B”等价于“a＞b”，结合正弦定理得“a＞b”等价于“sinA＞sinB”
故“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，得②正确；
对于③，由基本不等式，得2（a²+b²）≥（a+b）²=16，所以a²+b²的最小值为8，
结合a、b都是正数，可得

1

a2+b2

的最大值是

1

8

，故③正确；
对于④，因为x＞0，所以xf（x）-1=0即f（x）=

1

x

，
当x≥1时，2-x=

1

x

，解得x=1；当0＜x＜1时，-x=

1

x

，无实数根
因此函数F（x）=xf（x）-1只有一个零点x=1，得④是真命题．
故答案为：②③④

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了双曲线的几何性质、正弦定理的应用和利用基本不等式求最值等知识，属于基础题．