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12.已知圆M经过A(-1,0),B(1,0)和C(a,2)三点.
(1)当a=1时,求圆M的方程;
(2)当a变化时,求圆M截y轴所得弦长的取值范围.

分析 (1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由圆M经过三点A(-1,0),B(1,0)和C(1,2),联立方程组,求得D、E、F的值,可得圆M的方程.
(2)求出圆M的方程,令x=0,可得y2+$\frac{1}{2}(-3-{a}^{2})$y-1=0,即可求圆M截y轴所得弦长的取值范围.

解答 解:(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则由圆M经过三点A(-1,0),B(1,0)和C(1,2),
可得 $\left\{\begin{array}{l}{1-D+F=0}\\{1+D+F=0}\\{1+4+D+2E+F=0}\end{array}\right.$,求得 D=0,F=-1,E=-2,可得圆M的方程为x2+y2-2y-1=0.
(2)由题意,$\left\{\begin{array}{l}{1-D+F=0}\\{1+D+F=0}\\{{a}^{2}+4+aD+2E+F=0}\end{array}\right.$,∴D=0,F=-1,E=$\frac{1}{2}(-3-{a}^{2})$,
可得圆M的方程为x2+y2+$\frac{1}{2}(-3-{a}^{2})$y-1=0.
令x=0,可得y2+$\frac{1}{2}(-3-{a}^{2})$y-1=0,
圆M截y轴所得弦长$\sqrt{\frac{(-3-{a}^{2})^{2}}{4}+4}$≥$\frac{5}{2}$.

点评 本题主要考查用待定系数法求求圆的方程,直线和圆相交的性质,弦长公式的应用,属于中档题.

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