Question

设函数f（x）=x³，若0≤θ＜

π

4

时，f（m•tanθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A．（0，1）
• B．（-∞，0）
• C．（-∞，

  1

  2

  ）
• D．（-∞，1）

Answer 1

分析：根据幂函数的图象和性质可得函数f（x）=x³为奇函数，且在R上为增函数，进而可将f（m•tanθ）+f（1-m）＞0恒成立，转化为m•tanθ＞m-1恒成立，结合0≤θ＜

π

4

，进而可化为m＜

-1

tanθ-1

恒成立，求出

-1

tanθ-1

的最小值，可得答案．

解答：解：∵函数f（x）=x³为奇函数，且在R上为增函数
故f（m•tanθ）+f（1-m）＞0恒成立可化为
f（m•tanθ）＞-f（1-m）=f（m-1），即m•tanθ＞m-1恒成立
∵0≤θ＜

π

4

，故0≤tanθ＜1，-1≤tanθ-1＜0
故m•tanθ＞m-1恒成立可转化为m＜

-1

tanθ-1

令t=tanθ．（0≤t＜1），则函数y=

-1

t-1

在[0，1）上为增函数
即t=tanθ=0时，y=

-1

t-1

=

-1

tanθ-1

取最小值1
故m＜1
即实数m的取值范围是（-∞，1）
故选D

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的奇偶性，函数恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．