Question

10．已知实数x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-4≥0，}&{\;}\\{x-2y-2≤0，}&{\;}\\{y≤6，}&{\;}\end{array}\right.$则z=$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围为[$\frac{1}{4}，1$]．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，再由z=$\frac{y+1}{x+2}$的几何意义，即可行域内的动点与定点P（-2，-1）连线的斜率求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-4≥0，}&{\;}\\{x-2y-2≤0，}&{\;}\\{y≤6，}&{\;}\end{array}\right.$作出可行域如图：

A（2，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=6}\\{2x-y-4=0}\end{array}\right.$，解得B（5，6），
z=$\frac{y+1}{x+2}$的几何意义为可行域内的动点与定点P（-2，-1）连线的斜率，
∵${k}_{PA}=\frac{1}{4}，{k}_{PB}=1$，
∴z=$\frac{y+1}{x+2}$的取值范围为[$\frac{1}{4}，1$]．
故答案为：[$\frac{1}{4}，1$]．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．